Course n°01: Introduction to Bayesian inference, Beta-Binomial model Course n°02: Introduction to brms, linear regression Course n°03: Markov Chain Monte Carlo, generalised linear model Course n°04: Multilevel models, cognitive models
\[\newcommand\given[1][]{\:#1\vert\:}\]
Multilevel models
The aim is to build a model that can learn at several levels, that can produce estimates that will be informed by the different groups present in the data. We will follow the following example throughout this course.
Let’s imagine that we’ve built a robot that visits cafés, and that has fun measuring the waiting time after ordering. This robot visits 20 different cafés, 5 times in the morning and 5 times in the afternoon, and measures the time (in minutes) it takes to get a coffee.
Coffee robot
library(tidyverse)library(imsb)df <-open_data(robot)head(x = df, n =15)
Couldn’t we ensure that the time measured at café 1 informs the measurement taken at coffee 2 and coffee 3? As well as the average time taken to be served? We’re going to learn the priors from the data…
The prior for the intercept of each coffee (\(\alpha_{\text{café}}\)) is now a function of two parameters (\(\alpha\) and \(\sigma_{\text{café}}\)). \(\alpha\) and \(\sigma_{\text{café}}\) are called hyper-parameters, they are parameters for parameters, and their priors are called hyperpriors. There are two levels in the model…
We can always “remove” the mean from a Gaussian distribution and consider it as a constant plus a Gaussian centred on zero.
NB: when \(\alpha\) is defined in the linear model, the \(\alpha_{\text{café}}\) represent deviations from the mean intercept. It is therefore necessary to add \(\alpha\) and \(\alpha_{\text{café}}\) to obtain the average waiting time per café…
mod3 <-brm(formula = wait ~1+ (1| cafe),prior =c(prior(normal(5, 10), class = Intercept),prior(cauchy(0, 2), class = sigma),prior(cauchy(0, 2), class = sd) ),data = df,warmup =1000, iter =5000,cores = parallel::detectCores() )
This model has 23 parameters, the general intercept \(\alpha\), the residual variability \(\sigma\), the variability between cafés and one intercept per café.
L’estimateur James-Stein est défini comme \(z = \bar{y} + c(y - \bar{y})\), où \(\bar{y}\) désigne la moyenne de l’échantillon, \(y\) une observation individuelle, et \(c\) une constante, le shrinking factor(Efron & Morris, 1977).
Le shrinking factor est déterminé à la fois par la variabilité (imprécision) de la mesure (e.g., son écart-type) et par la distance à l’estimation moyenne (i.e., \(y - \bar{y}\)). En d’autres termes, cet estimateur fait moins “confiance” (i.e., accorde moins de poids) aux observations imprécises et/ou extrêmes. En pratique, le shrinkage agit comme une protection contre le sur-apprentissage (overfitting).
Pooling
Le shrinkage observé slide précédente est dû à des phénomènes de partage (pooling) de l’information entre les cafés. L’estimation de l’intercept pour chaque café informe l’estimation de l’intercept des autres cafés, ainsi que l’estimation de l’intercept général (i.e., la moyenne générale).
On distingue en général trois perspectives (ou stratégies) :
Complete pooling : on suppose que le temps d’attente est invariant, on estime un intercept commun (mod1).
No pooling : on suppose que les temps d’attente de chaque café sont uniques et indépendants : on estime un intercept par café, mais sans informer le niveau supérieur (mod2).
Partial pooling : on utilise un prior adaptatif, comme dans l’exemple précédent (mod3).
La stratégie complete pooling en général underfitte les données (faibles capacités de prédiction) tandis que le stratégie no pooling revient à overfitter les données (faibles capacités de prédiction ici aussi). La stratégie partial pooling (i.e., celle des modèles multi-niveaux) permet d’’équilibrer underfitting et overfitting.
Comparaison de modèles
On peut comparer ces trois modèles en utilisant le WAIC (discuté au Cours n°07).
# calcul du WAIC et ajout du WAIC à chaque modèlemod1 <-add_criterion(mod1, "waic")mod2 <-add_criterion(mod2, "waic")mod3 <-add_criterion(mod3, "waic")# comparaison des WAIC de chaque modèlew <-loo_compare(mod1, mod2, mod3, criterion ="waic")print(w, simplify =FALSE)
On remarque que le modèle 3 a seulement 18 “effective parameters” (pWAIC) et moins de paramètres que le modèle 2, alors qu’il en a en réalité 2 de plus… posterior_summary(mod3)[3, 1] nous donne le sigma du prior adaptatif des \(\alpha_{\text{café}}\) (\(\sigma_{\text{café}} = 0.82\)). On remarque que ce sigma est très faible et correspond à assigner un prior très contraignant, ou régularisateur.
Comparaison de modèles
On compare les estimations du premier modèle (complete pooling model) et du troisième modèle (partial pooling model).
Les deux modèles font la même prédiction (en moyenne) pour \(\alpha\), mais le modèle 3 est plus incertain de sa prédiction que le modèle 1 (voir l’erreur standard pour \(\alpha\))…
L’estimation de \(\sigma\) du modèle 3 est plus petite que celle du modèle 1 car le modèle 3 décompose la variabilité non expliquée en deux sources : la variabilité du temps d’attente entre les cafés \(\sigma_{\text{café}}\) et la variabilité résiduelle \(\sigma\).
Robot et café
Imaginons que notre robot ne visite pas tous les cafés le même nombre de fois (comme dans le cas précédent) mais qu’il visite plus souvent les cafés proches de chez lui…
df2 <-open_data(robot_unequal) # nouveau jeu de donnéesmod4 <-brm(formula = wait ~1+ (1| cafe),prior =c(prior(normal(5, 10), class = Intercept),prior(cauchy(0, 2), class = sigma),prior(cauchy(0, 2), class = sd) ),data = df2,warmup =1000, iter =5000,cores = parallel::detectCores() )
Shrinkage
On observe que les cafés qui sont souvent visités (à droite) subissent moins l’effet du shrinkage. Leur estimation est moins “tirée” vers la moyenne générale que les estimations des cafés les moins souvent visités (à gauche).
Aparté : effets fixes et effets aléatoires
Cinq définitions (contradictoires) relevées par Gelman (2005).
Fixed effects are constant across individuals, and random effects vary.
Effects are fixed if they are interesting in themselves or random if there is interest in the underlying population.
When a sample exhausts the population, the corresponding variable is fixed; when the sample is a small (i.e., negligible) part of the population the corresponding variable is random.
If an effect is assumed to be a realized value of a random variable, it is called a random effect.
Fixed effects are estimated using least squares (or, more generally, maximum likelihood) and random effects are estimated with shrinkage.
Gelman & Hill (2006) suggèrent plutôt l’utilisation des termes de constant effects et varying effects, et de toujours utiliser la modélisation multi-niveaux, en considérant que ce qu’on appelle effet fixe peut simplement être considéré comme un effet aléatoire dont la variance serait égale à \(0\).
Régularisation et terminologie
Le fait de faire varier les intercepts de chaque café est simplement une autre manière de régulariser (de manière adaptative), c’est à dire de diminuer le poids accordé aux données dans l’estimation. Le modèle devient à même d’estimer à quel point les groupes (ici les cafés) sont différents, tout en estimant les caractéristiques de chaque café…
Différence entre les cross-classified (ou “crossed”) multilevel models et nested or hierarchical multilevel models. Le premier type de modèle concerne des données structurées selon deux (ou plus) facteurs aléatoires non “nichés”. Le deuxième type de modèles concerne des données structurées de manière hiérarchique (e.g., un élève dans une classe dans une école dans une ville…). Voir cette discussion pour plus de détails.
Les deux types de modèles s’écrivent cependant de manière similaire, sur plusieurs “niveaux”. Le terme “multi-niveaux” (dans notre terminologie) fait donc référence à la structure du modèle, à sa spécification. À distinguer de la structure des données.
Exemple de modèle “cross-classified”
On pourrait se poser la question de savoir si la récence des cafés (leur âge) ne serait pas une source de variabilité non contrôlée ? Il suffit d’ajouter un intercept qui varie par âge, et de lui attribuer un prior adaptatif.
Où \(A_{i}\) est une dummy variable codée 0/1 pour le matin et l’après-midi et où \(\beta_{\text{café}}\) est donc un paramètre de différence (i.e., une pente) entre le matin et l’après-midi.
Remarque : on sait que les cafés ont des intercepts et des pentes qui co-varient… Les cafés populaires seront surchargés le matin et beaucoup moins l’après-midi, résultant en une pente importante. Ces cafés auront aussi un temps d’attente moyen plus long (i.e., un intercept plus grand). Dans ces cafés, \(\alpha\) est grand et \(\beta\) est loin de zéro. À l’inverse, dans un café peu populaire, le temps d’attente sera faible, ainsi que la différence entre matin et après-midi.
On pourrait donc utiliser la co-variation entre intercept et pente pour faire de meilleures inférences. Autrement dit, faire en sorte que l’estimation de l’intercept informe celle de la pente, et réciproquement.
Robot et café : varying intercept + varying slope
On s’intéresse maintenant à l’effet du moment de la journée sur le temps d’attente. Attend-on plus le matin, ou l’après-midi ?
La troisième ligne postule que chaque café a un intercept \(\alpha_{\text{café}}\) et une pente \(\beta_{\text{café}}\), définis par un prior Gaussien bivarié (i.e., à deux dimensions) ayant comme moyennes \(\alpha\) et \(\beta\) et comme matrice de covariance \(\textbf{S}\).
\(\textbf{S}\) est définie en factorisant \(\sigma_{\alpha}\), \(\sigma_{\beta}\), et la matrice de corrélation \(\textbf{R}\). La suite du modèle définit simplement les priors pour les effets constants. La dernière ligne spécifie le prior pour \(\textbf{R}\).
LKJ prior
Prior proposé par Lewandowski et al. (2009). Un seul paramètre \(\zeta\) (zeta) spécifie la concentration de la distribution du coefficient de corrélation. Le prior \(\mathrm{LKJ}(2)\) définit un prior peu informatif pour \(\rho\) (rho) qui est sceptique des corrélations extrêmes (i.e., des valeurs proches de \(-1\) ou \(1\)).
Rappels de syntaxe
Le paquet brms utilise la même syntaxe que les fonctions de base R (comme lm) ou que le paquet lme4.
Reaction ~ Days + (1+ Days | Subject)
La partie gauche représente notre variable dépendante (ou “outcome”, i.e., ce qu’on essaye de prédire).
La partie droite permet de définir les prédicteurs. L’intercept est généralement implicite, de sorte que les deux écritures ci-dessous sont équivalentes.
Reaction ~ Days + (1+ Days | Subject)Reaction ~1+ Days + (1+ Days | Subject)
Rappels de syntaxe
La première partie de la partie droite de la formule représente les effets constants (effets fixes), tandis que la seconde partie (entre parenthèses) représente les effets “variants” ou “variables” (effets aléatoires).
Reaction ~1+ Days + (1| Subject)Reaction ~1+ Days + (1+ Days | Subject)
Le premier modèle ci-dessus contient seulement un intercept variable, qui varie par Subject. Le deuxième modèle contient également un intercept variable, mais aussi une pente variable pour l’effet de Days.
Rappels de syntaxe
Lorsqu’on inclut plusieurs effets variants (e.g., un intercept et une pente variables), brms postule qu’on souhaite aussi estimer la corrélation entre ces deux effets. Dans le cas contraire, on peut supprimer cette corrélation (i.e., la fixer à 0) en utilisant ||.
Reaction ~ Days + (1+ Days || Subject)
Les modèles précédents postulaient un modèle génératif Gaussien. Ce postulat peut être changé facilement en spécifiant la fonction souhaitée via l’argument family.
brm(formula = Reaction ~1+ Days + (1+ Days | Subject), family =lognormal() )
Modèle brms
On spécifie un intercept et une pente (pour l’effet d’afternoon) qui varient par cafe.
mod5 <-brm(formula = wait ~1+ afternoon + (1+ afternoon | cafe),prior =c(prior(normal(0, 10), class = Intercept),prior(normal(0, 10), class = b),prior(cauchy(0, 2), class = sigma),prior(cauchy(0, 2), class = sd) ),data = df,warmup =1000, iter =5000,cores = parallel::detectCores() )
Distribution postérieure
post <-as_draws_df(x = mod5) # extracts posterior samplesR <- rethinking::rlkjcorr(n =16000, K =2, eta =2) # samples from priordata.frame(prior = R[, 1, 2], posterior = post$cor_cafe__Intercept__afternoon) %>%gather(type, value, prior:posterior) %>%ggplot(aes(x = value, color = type, fill = type) ) +geom_histogram(position ="identity", alpha =0.2) +labs(x =expression(rho), y ="Nombre d'échantillons")
Shrinkage en deux dimensions
Comparaison de modèles
On compare le premier modèle (complete pooling model), le troisième modèle (partial pooling model), et le dernier modèle (avec intercept et pente variable).
# comparaison des WAIC de chaque modèlemod5 <-add_criterion(mod5, "waic")w <-loo_compare(mod1, mod2, mod3, mod5, criterion ="waic")print(w, simplify =FALSE)
L’estimation du temps d’attente moyen est plus incertaine lorsqu’on prend en compte de nouvelles sources d’erreur. Cependant, l’erreur du modèle (i.e., ce qui n’est pas expliqué), la variation résiduelle \(\sigma\), diminue…
Les modèles multi-niveaux (ou “modèles mixtes”) sont des extensions naturelles des modèles de régression classiques, où les paramètres de ces derniers se voient eux-même attribués des “modèles”, gouvernés par des hyper-paramètres.
Cette extension permet de faire des prédictions plus précises en prenant en compte la variabilité liée aux groupes ou structures (clusters) présent(e)s dans les données. Autrement dit, en modélisant les populations d’où sont tirés les effets aléatoires (e.g., la population de participants ou de stimuli).
Un modèle de régression classique est équivalent à un modèle multi-niveaux où la variabilité des effets aléatoires serait fixée à \(0\).
La cadre bayésien permet une interprétation naturelle des distributions desquelles proviennent les effets aléatoires (varying effects). En effet, ces distributions peuvent être interprétées comme des distributions a priori, dont les paramètres sont estimés à partir des données.
# calcul du WAIC et ajout du WAIC à chaque modèlemod6 <-add_criterion(mod6, "waic")mod7 <-add_criterion(mod7, "waic")mod8 <-add_criterion(mod8, "waic")# comparaison des WAIC de chaque modèlew <-loo_compare(mod6, mod7, mod8, criterion ="waic")print(w, simplify =FALSE)
“One of the most basic problem in scientific inference is the so-called inverse problem: How to figure out causes from observations. It is a problem, because many different causes can produce the same evidence. So while it can be easy to go forward from a known cause to predicted observations, it can very hard to go backwards from observation to cause” (McElreath, 2020)…
Geometric people
…
Evidence accumulation models
…
Drift diffusion model
…
Conclusions
La statistique bayésienne est une approche générale de l’estimation de paramètres. Cette approche utilise la théorie des probabilités pour quantifier l’incertitude vis à vis de la valeur des paramètres de modèles statistiques.
Ces modèles sont composés de différents blocs (e.g., fonction de vraisemblance, priors, modèle linéaire ou non-linéaire) qui sont modifiables à souhait. Ce qu’on appelle classiquement “conditions d’application” sont simplement les conséquences des choix de modélisation réalisés par l’utilisateur. Autrement dit, c’est l’utilisateur qui choisit (et ne subit pas) les conditions d’application.
Nous avons vu que le modèle de régression linéaire est un modèle très flexible qui permet de décrire, via la modification de la fonction de vraisemblance et via l’introduction de fonctions de lien, des relations complexes (e.g., non-linéaires) entre variable prédite et variables prédictrices. Ces modèles peuvent gagner en précision par la prise en compte de la variabilité et des structures présentes dans les données (cf. modèles multi-niveaux).
Conclusions
Le paquet brms est un véritable couteau suisse de l’analyse statistique bayésienne en R. Il permet de fitter presque n’importe quel type de modèle de régression. Cela comprend tous les modèles que nous avons vu en cours, mais également bien d’autres. Entre autres, des modèles multivariés (i.e., avec plusieurs outcomes), des modèles “distributionnels” (e.g., pour prédire des différence de variance), des generalised additive models, des procesus Gaussiens (Gaussian processes), des modèles issus de la théorie de détection du signal, des mixture models, des modèles de diffusion, des modèles non-linéaires…
N’hésitez pas à me contacter pour plus d’informations sur ces modèles ou si vous avez des questions par rapport à vos propres données. Vous pouvez aussi contacter le créateur du paquet brms, très actif en ligne (voir son site). Voir aussi le forum Stan.
Gelman, A., Vehtari, A., Simpson, D., Margossian, C. C., Carpenter, B., Yao, Y., Kennedy, L., Gabry, J., Bürkner, P.-C., & Modrák, M. (2020). Bayesian workflow. arXiv:2011.01808 [Stat]. http://arxiv.org/abs/2011.01808
Lewandowski, D., Kurowicka, D., & Joe, H. (2009). Generating random correlation matrices based on vines and extended onion method. Journal of Multivariate Analysis, 100(9), 1989–2001. https://doi.org/10.1016/j.jmva.2009.04.008
